Ehrhard
Behrends
Freie UniversitÀt Berlin
 Zauberhafte Mathematik
Mathematische Forschung verstehen  đ
Institute
Number of talks
12
June 2024
February 2024
HĂ©lĂšne
Esnault
UniversitÀt Kopenhagen
Lokale Systeme in der Algebraischen und Arithmetischen Geometrie
Abstract.
 Von Galois, zu Riemann, zu PoincarĂ©, zu⊠Grothendieck, zu⊠Simpson, zu⊠Langlands⊠Die Fundamentalgruppen (die Galoisgruppen) sind zwar sehr klar definiert, ĂŒber deren Eigenschaften weiĂ man aber extrem wenig. Deswegen studiert man deren (lineare) Darstellungen, modulo Isomorphismen, als erste Approximation. Es sind die lokalen Systeme. Wo findet man sie, wo kommen sie her? Kann man sie alle parametrisieren, gibt es spezielle Eigenschaften, wenn sie sich zum Beispiel nicht deformieren lassen? Ich werde versuchen, historisch und anschaulich einige Punkte vorzubringen.
January 2024
JĂŒrg
Kramer
HU
 Rationale Lösungen polynomialer Gleichungen
Abstract.
Ist  f(X)  ein Polynom in der Variablen  X  mit komplexen Koeffizienten, so besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass  f mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt, sobald der Grad von  f positiv ist. In der Zahlentheorie interessiert die Frage, wie es um die Existenz rationaler Nullstellen von  f steht, wenn f rationale Koeffizienten hat. Die Antwort darauf wird im Wesentlichen durch das Lemma von GauĂ gegeben. In unserem Vortrag gehen wir nun der analogen Frage nach, wenn  f = f(X,Y)  ein Polynom mit rationalen Koeffizienten in zwei Variablen ist. Wir werden dabei finden, dass â generisch gesehen â solche Polynome (unendlich) viele rationale Nullstellen haben, wenn deren Grad âkleinâ ist, wogegen sie höchstens endlich viele rationale Nullstellen besitzen, falls deren Grad âgroĂâ ist. Um diese qualitativen Sachverhalte quantitativ genauer zu verstehen, werden wir uns vom IrrationalitĂ€tsbeweis von  â2  mit Hilfe von Fermats unendlichem Abstieg inspirieren lassen. Diese Ăberlegungen werden uns auch zu interessanten zahlentheoretischen Fragestellungen fĂŒhren, wie beispielsweise dem Kongruenzzahlproblem, die Gegenstand aktueller mathematischer Forschung sind.
December 2023
LĂĄszlĂł
Kozma
FU
 Algorithms: from sorting to saddle points
Abstract.
Algorithmic problems typically ask to transform each given input according to some well-defined mathematical function. For example, in the sorting problem, given a sequence of (comparable) items, we want to put them in increasing order.When can we say that we fully understand the complexity of an algorithmic problem? Ideally, we should find an algorithm that solves the task in a certain number of elementary steps, and prove that no algorithm can achieve this in fewer steps. But how can we argue about all possible inputs and all possible algorithms, including those not yet invented? This basic question is behind some of the great mysteries of theoretical computer science; we have satisfactory answers only for relatively simple problems in restricted models of computation.As a case study we will look at the problem of finding a saddle point, a task that arises both in optimization and game theory. Seemingly related to sorting, the problem allows for some surprising algorithmic improvements, with its precise complexity not yet settled.
November 2023
Rupert
Klein
FU
Wie die Mathematik zur Klimadebatte beitragen kann
Abstract.
Im Kontext der Klimadebatte wird die Mathematik oftmals lediglich als Lieferantin von Rechenmethoden gesehen. In Wirklichkeit ist sie deutlich breiter aufgestellt, wie drei Beispiele zeigen sollen: Die Klimaforschung arbeitet vielfach mit vereinfachten Gleichungen fĂŒr AtmosphĂ€ren- und Ozeansimulationen. Die Mathematik liefert rigorose Aussagen zur GĂŒltigkeit solcher reduzierter Modelle und hilft so, die Klimaforschungsergebnisse abzusichern. Das Klima wird verkĂŒrzt als "30 jĂ€hrige Wetterstatistik" definiert. Da aber die entsprechend eingesetzten statistischen Methoden zeitunabhĂ€ngige Zufallsverteilungen annehmen, stellt sich die Frage, was dann unter "Klimawandel" ĂŒberhaupt zu verstehen ist. Die mathematische Zeitreihenanalyse liefert hier ganz neue Ansatzpunkte. Im Schulterschluss suchen Sozial-, Wirtschafts- und Klimawissenschaften nach gemeinsamen Grundlagen fĂŒr die Politikberatung. Dabei kommt es oft zu MissverstĂ€ndnissen aufgrund ihrer doch sehr unterschiedlichen Fachsprachen. Das Beispiel einer mathematischen Formalisierung des Begriffs der "VulnerabilitĂ€t bezĂŒglich des Klimawandels" zeigt, wie Mathematik helfen kann, interdisziplinĂ€re Diskurse zu strukturieren.
July 2023
GĂŒnter M.
Ziegler
FU
Das 24-Zell
Abstract.
Der WĂŒrfel und das Oktaeder sind einfache und gewöhnliche 3-dimensionale Objekte. Es gibt auch entsprechende Objekte in der 4-dimensionalen Geometrie, die man geometrisch, kombinatorisch und algebraisch beschreiben und untersuchen kann.In diesem Vortrag soll es darum gehen, ein weiteres, auĂergewöhnliches und in verschiedenster Weise einzigartiges Objekt kennenzulernen, das wohl zunĂ€chst von Ludwig SchlĂ€fli in der Mitte des 19. Jahrhunderts entdeckte â24-Zellâ: Wir beschreiben es ebenfalls geometrisch, kombinatorisch und algebraisch, stellen dann aber auĂergewöhnliche Eigenschaften fest (etwa dass das 24-Zell âselbst-dualâ ist und mit bemerkenswerten Kugelanordnungen zusammenhĂ€ngt) und stoĂen dann schnell auf auch unbeantwortete Fragen (etwa nach Deformationen des 24-Zells, die die Kombinatorik aber nicht die Geometrie erhalten).
June 2023
Raman
Sanyal
FU
From linear programming to colliding particles
Abstract.
The simplex algorithm is the method of choice for solving linear optimization problems in practice. However, it is a famous open problem to show that the simplex algorithm also performs well in theory. From a discrete-geometric perspective, the simplex algorithm follows a path in the graph of a convex polytope and the path is determined by a so-called pivot rule. The challenge is to find a pivot rule that always takes a âshortâ path.
May 2023
Christian
Haase
FU
Gitterpunkte und Hodge-Zahlen
Abstract.
âDas Studium torischer VarietĂ€ten ist ein wunderbarer Teil der algebraischen Geometrie mit tiefen Verbindungen zur polyedrischen Geometrie. Es gibt elegante Theoreme, unerwartete Anwendungen und phantastische Beispiele.â (Frei nach Cox, Little, Schenck: Toric Varieties; AMS 2011). Dieser Vortrag ist eine Einladung in dieses Gebiet. Als ein Beispiel wie âwunderbarâ es hier ist, schauen wir uns Verallgemeinerungen des berĂŒhmten (und natĂŒrlich eleganten) Satzes von Bernstein-Kushnirenko an. Dieser Satz drĂŒckt die Anzahl der Lösungen eines Systems von  n Polynomgleichungen in  n Unbekannten durch das gemischte Volumen von  n Polytopen aus. Wenn wir nur noch  k < n  Gleichungen haben, wird die Lösungsmenge nicht mehr endlich sein. Nichtsdestotrotz kann man Formeln beweisen, die (algebraisch) geometrische Invarianten der Lösungsmenge in Beziehung zu Gitterpunktzahlen in Minkowski-Summen von Polytopen setzen. Der Schwerpunkt des Vortrags liegt darin, eine Idee des Wechselspiels zwischen algebraischer und polyedrischer Geometrie zu vermitteln. Bei den aktuelleren Resultaten berichte ich ĂŒber gemeinsame Arbeiten mit S. Di Rocco, M. Juhnke-Kubitzke, B. Nill, R. Sanyal und T. Theobald.
February 2023
Tibor
SzabĂł
How many edges guarantee a small graph pattern?
Abstract.
A graph consist of a set of vertices and a set of edges, with each edge representing a pair of vertices. Graphs are a widely applicable model of symmetric binary relations which arise in various networks, let it be computer, transportation, or social.How many edges overall guarantee that a graph on n vertices surely contains some specific small graph pattern of edges, say forming a triangle? Or a cycle of length four? Or a complete graph on four vertices? How about other patterns?This is the theory of TurĂĄn numbers, a classical topic in Graph Theory, with many interesting theorems and even more tantalizing open problems. It provides a great variety of behaviours and a rich arsenal of proof methods. In the talk we aim an introduction into these. No familiarity with graphs will be assumed.
January 2023
Wolfgang
König
Prof. Dr.
Wird ein Gigant erscheinen oder nicht?
Abstract.
Wir werfen zufĂ€llig Punkte in den Raum und verbinden zufĂ€llig je zwei Punkte mit einer Kante oder nicht. Hat dieser Graph eine unendlich groĂe Komponente oder nicht? -- Wir werfen lauter zufĂ€llige Schlingen mit fester und sehr groĂer GesamtlĂ€nge in eine groĂe Box. Wird eine der Schlingen ganz besonders lang sein? -- Wir starten mit vielen Partikeln der Masse Eins und lassen sie paarweise immer wieder mit einander koagulieren. Gibt es spĂ€ter ein ganz besonders groĂes Partikel? -- Dies sind drei Typen von zufĂ€lligen Prozessen, in denen manchmal ein Mikro-Makro-PhasenĂŒbergang beobachtet werden kann: das Auftreten einer gigantisch groĂen Teilstruktur. Die drei PhasenĂŒbergĂ€nge in diesen Beispielen heiĂen Perkolation, Bose-- Einstein-Kondensation und Gelation. Um sie herum gibt es viele tolle mathematische Ergebnisse, aber noch mehr ist weithin offen. Daher gibt es viele Modellvarianten und viele hochinteressante Teilaufgaben, von denen etliche auch fĂŒr Bachelorarbeiten geeignet sind.
December 2022
Marian
Margraf
Perfekt sichere VerschlĂŒsselungsverfahren
Abstract.
Der Vortrag fĂŒhrt zunĂ€chst VerschlĂŒsselungsverfahren ein, gibt einfache Beispiele und diskutiert verschiedene Sicherheitsbegriffe. Im Hauptteil des Vortrags wird auf den Begriff der perfekten Sicherheit eingegangen, ein Verfahren ist perfekt sicher, wenn selbst Angreifer mit unbeschrĂ€nkten Ressourcen dieses Verfahren nicht brechen können. Wir definieren den Begriff formal, geben eine Ă€quivalente Beschreibung an (ein Resultat von Shannon aus dem Jahr 1949) und zeigen, dass perfekt sichere VerschlĂŒsselungsverfahren tatsĂ€chlich existieren. Allerdings haben sie den groĂen Nachteil, dass die fĂŒr die VerschlĂŒsselung eingesetzten SchlĂŒssel mindestens so groĂ sein mĂŒssen wie der Informationsgehalt des zu verschlĂŒsselnden Textes.
October 2022
Klaus
Altmann
Die Infizierung des Z2